只给你四个数字 2，不准引入任何其他数字，但允许随便调用数学运算，能不能拼出任意自然数？技术博主 Eli Bendersky 在 2025 年 2 月 22 日的文章里把这个经典谜题翻了出来，最终端出物理学家 Paul Dirac（保罗·狄拉克）的万能公式直接终结比赛。不过翻开底层史料和数学结构就会发现两件反常识的事。狄拉克的原始解法其实只用了三个 2，后世流传的第四个 2 纯属凑数补丁；而且他压根没在算术层面动脑筋，而是写了一套钻规则漏洞的符号编码器。
在狄拉克出手之前，这道题拼的是数学工具箱的厚度。造出小数字靠小学加减乘除就行，数字再大一点就得动用指数、阶乘，或者把两个 2 拼成 22。这里面最臭名昭著的拦路虎是数字 7，因为它离 2 的幂次和简单阶乘组合都太远。为了跨过 7，玩家们不得不搬出伽马函数、积分、复数，或者像 Mathematics Stack Exchange 社区那样，写出 $\log_{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}(2) - 2/2 = 7$ 这种局部巧解（利用三次开方凑出 $2^{1/8}$ 做底数，对数值正好是 8，再减去 1）。
根号当绳结，对数做解码
局部巧解越是精妙，越显得狄拉克的通解不讲武德。原文抓取版丢失了全部公式，还原后的核心机制其实只有三步，全部建立在平方根与对数的逆运算上。
随便给一个目标自然数 $n$，狄拉克的做法是抓起一个数字 2，给它套上 $n$ 层平方根号。每套一层平方根，指数就乘上一次 $2^{-1}$，连续套 $n$ 层之后，算式的值就变成了 $2^{2^{-n}}$。接下来只需要把这个藏在指数第二层的 $n$ 剥出来，先取一次以 2 为底的对数，算式降维成 $2^{-n}$；再套一层以 2 为底的对数并加上负号，就能精准还原出目标自然数 $n$。
把这三步写成完整公式就是 $-\log_2(\log_2(\sqrt{\cdots\sqrt{2}})) = n$。数一下就会发现，根号里一个 2，两个对数底数各一个 2，总共只用掉三个 2。为了迎合题面必须用满四个 2 的硬规定，Bendersky 在博客里把最外层的底数 2 替换成了等价的 $\sqrt{2+2}$。这样一来，无论目标整数是 7 还是 10000，唯一的工作量就是低头画够对应数量的根号。
哥廷根口述史与三个凑数补丁
大众科普总喜欢把这件事渲染成狄拉克在 20 世纪 20 年代一招毁掉数学家消遣的传奇，但顺着文献往下挖，证据链其实是一条典型的学界口述史，而且正好能解释那个多出来的第四个 2。
Bendersky 的故事引自 Graham Farmelo 在 2009 年出版的狄拉克传记《The Strangest Man》第 14 章。传记明确记载，四个 2 的游戏是在 1929 年被引入德国哥廷根学派的，但书中并没有给出狄拉克想出通解的确切日期。更关键的是，Farmelo 在章节注释里交代了这段轶事的真正源头，它并非来自狄拉克的同期论文，而是出自物理学家 Hendrik B. G. Casimir 在 1984 年出版的回忆录《Haphazard Reality: Half a Century of Science》第 74 至 75 页。
而在 Casimir 的原始回忆录里，狄拉克当年解出这道题，本来就只用了三个 2。
因为核心数学结构天然只需要三个 2，后世的传播者在把它塞进四个 2 的题框时，各自打上了完全不同的补丁。
| 版本来源与时间 | 第四个 2 的配平写法 | 改动位置 |
|---|---|---|
| Casimir 回忆录 (1984) | 无补丁，原版仅用 3 个 2 | 原始双对数结构 |
| Farmelo 传记注释 (2009) | 显式写出根号省略的根指数 $\sqrt[2]{\quad}$ | 嵌套平方根内部 |
| Bendersky 博客 (2025.02) | 底数 2 替换为 $\sqrt{2+2}$ | 外层对数底数 |
| Math.SE 用户 mathon (2025.03) | 底数 2 替换为 $\sqrt{2 \cdot 2}$ | 外层对数底数 |
三种补丁各改各的，反而证明了一件事，第四个 2 在这套通解里毫无数学功能，纯粹是为了应付题面审查而加上的修辞。
算术巧思是怎么败给符号编码的
为什么很多人第一眼看到狄拉克的公式，直觉上会觉得他在作弊，但对照规则又挑不出毛病？
我更在意的不是这道题怎么解，而是它暴露出的形式系统漏洞。表面上看，平方根符号 $\sqrt{\quad}$ 在现代数学记法里默认省略了左上角的根指数 2，画 $n$ 个根号，其实已经在运算层面隐式调用了 $n$ 次以 2 为底的开方，Farmelo 传记里直接标出根指数 2 的补丁，恰恰把这层窗户纸捅破了。
但更深层的降维打击在于，狄拉克用物理空间的重复次数替代了数值构造。
狄拉克没有去凑数字，他只是用根号发明了一套结绳计数法。
在计算理论与皮亚诺公理（Peano axioms）的视角下，任何一个自然数 $n$ 都可以通过对基准元素连续施加 $n$ 次后继算子来定义。算术谜题之所以烧脑，是因为它封死了直接写数字的通道，逼迫玩家在有限的算式长度内寻找数值巧合。而狄拉克敏锐地抓住了规则里的免死金牌，题面只限制了数字 2 的出现次数，却没有限制一元算子（平方根）的嵌套深度。
只要一个一元算子不带显式数字、能改变数值、且有对应的逆运算（对数）能把嵌套层数提取出来，玩家就可以靠无上限地叠加这个算子，把目标数字 $n$ 硬生生编码进语法树的深度里。对比一下前面提到的局部巧解就很清楚，同样是用对数和根号凑 7，$\log_{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}(2) - 2/2 = 7$ 只用了 3 个根号就跳到了 8，靠的是指数运算的倍率放大；而狄拉克的通解要凑出 7，必须老老实实画满 7 个根号。
《韩非子》里讲，夫匠者，手巧也；而法者，官之规矩绳墨也。当哥廷根的数学家们都在比拼手巧时，物理学家直接修改了绳墨的用法。
这也给所有规则设计者留下一条硬教训。不光是在数学谜题里，包括今天的编程竞赛（Code Golf）、基准测试（Benchmark）甚至博弈机制设计，只要你不给算子完备性和语法树嵌套深度加上硬上限，参与者就一定能找到绕过核心难题的编码旁路。
- 结论.当存在性问题被狄拉克式的万能公式彻底抹平后，这类数字游戏唯一剩下的智力竞技场，就是限制运算符号总成本的最短表达式问题（Golfing）——毕竟用 7 个根号画出 7 只是体力活，禁用无限嵌套、用最少的符号拼出大整数，才算回到真正的数学。